Matriz de resultados de un juego
La matriz de resultados de un juego representa el resultado del juego en una matriz. Supongamos que dos personas, A y B, están jugando un sencillo juego. El juego consiste en lo siguiente: la persona A tiene la posibilidad de elegir “arriba” o “abajo”, mientras que B puede elegir “izquierda” o “derecha”. Los resultados del juego se representan en la matriz de resultados:
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Izquierda
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Derecha
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Arriba
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(50 , 100)
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(0 , 50)
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Abajo
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(100 , 50)
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(50 , 0)
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Estrategia dominante
Una estrategia dominante es aquella elección que realiza el jugador independientemente de lo que haga el otro. En el juego representado en la matriz de arriba, la estrategia dominante para A es elegir “abajo”, mientras que la estrategia dominante para B es elegir “izquierda”. Estas estrategias dominantes dan como resultado el equilibrio de estrategias dominantes del juego. Si cada jugador tiene una estrategia dominante se puede predecir el resultado del juego.
Equilibrio de Nash
El equilibrio de Nash fue formulado por John Nash, que es un matemático norteamericano, en 1951. Un par de estrategias es un equilibrio de Nash si la elección de A es óptima dada la de B y la de B es óptima, dada la de A. El equilibrio de Nash se diferencia del equilibrio de las estrategias dominantes en que, en el equilibrio de las estrategias dominantes, se exige que la estrategia de A sea óptima en el caso de todas las elecciones óptimas de B, y viceversa. El equilibrio de Nash es menos restrictivo que el equilibrio de estrategias óptimas.
Un juego puede tener más de un equilibrio de Nash. Existen juegos en los no existe un equilibrio de Nash.
Dilema del prisionero
Considera la siguiente historia. Dos sospechosos de un crimen son puestos en celdas separadas. Si ambos confiesan, cada uno será sentenciado a tres años de prisión. Si sólo uno confiesa, el que confiese será liberado y usado como testigo contra el otro, quien recibirá una pena de diez años. Si ninguno confiesa, ambos serán condenados por un cargo menor y tendrán que cumplir una pena de sólo un año de prisión. Este juego puede ser representado por una matriz 2x2:
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Sospechoso B confiesa
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Sospechoso B no confiesa
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Sospechoso A confiesa
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(3 , 3)
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(0 , 10)
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Sospechoso A no confiesa
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(10 , 0)
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(1 , 1)
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Veamos cuál es la estrategia óptima para cada sospechoso. Si B confiesa, A preferirá confesar, ya que si confiesa obtendrá una pena de 3 años, y si no confiesa obtendrá una pena de 10 años. Si B no confiesa, A preferirá confesar, ya que de este modo será liberado, y si no confesara obtendrá una pena de un año. Entonces, A va a confesar, independientemente de lo que haga B. Análogamente, B también va a confesar independientemente de lo que haga A. Es decir, ambos sospechosos van a confesar y obtener entonces una pena de tres años de prisión cada uno. Este es el equilibrio del juego, que es ineficiente en el sentido de Pareto, ya que se puede reducir la condena de ambos si ninguno confesara.
Este es el ejemplo mas famoso de las situaciones en la que los equilibrios competitivos pueden llevar a resultados ineficientes. El dilema del prisionero ilustra la situación que se presenta en los cárteles. En un cártel, las empresas coalicionan (hacen un acuerdo) para reducir su producción y así poder aumentar el precio. Sin embargo, cada empresa tiene incentivos para producir mas de lo que fijaba el acuerdo y de este modo obtener mayores beneficios. Sin embargo, si cada una de las firmas hace lo mismo, el precio va a disminuir, lo que resultará en menores beneficios para cada una de las firmas. La misma estructura de interacciones caracteriza el problema de la provisión de bienes públicos (problema del free rider), y del pago voluntario de impuestos.
